LÓGICA CUANTIFICACIONAL
DEFINICIÓN
Es llamada también lógica de predicados o lógica de primer orden.
La lógica cuantificacional estudia la composición íntima de las proposiciones, utiliza nuevos símbolos, leyes y métodos para establecer la validez de los razonamientos.
Esta lógica estudia de manera más detallada los predicados a través del uso de cuantificadores que expresan cantidad (todos o algunos ).
El sistema de notación consta de los siguientes elementos, que vienen a ser su lenguaje:
A) Operadores proposicionales
B) Constantes individuales
C) Variables
D) Operadores de cuantificación o,simplemente,cuantificadores y
E) Metavariables
F) Símbolos de agrupación.
1.- RAZONAMIENTOS CON PROPOSICIONES SIMPLES
Anteriormente hemos utilizado razonamientos formados por proposiciones compuestas y hemos estudiado diversos métodos para demostrar su validez. Hay otro tipo de razonamientos formados por proposiciones simples:
Todos los hombres son mortales
Sócrates es hombre
Luego Sócrates es mortal
Este silogismo clásico es válido, porque la conclusión es una consecuencia lógica de las premisas, donde el termino medio: “hombre”, se ha relacionado con el termino menor: “Sócrates” y con el término mayor: “mortales”. Este razonamiento en la lógica proposicional no es válido, porque si lo simbolizamos y aplicamos, por ejemplo, el método de la implicación tautológica, el cual consiste en conjuncionar las premisas e implicarlas con la conclusión, para luego aplicar las tablas de verdad, veremos que es una proposición contingente, luego el razonamiento sería inválido.
Tampoco se pueden aplicar otros métodos demostrativos. No existe ninguna regla en la lógica proposicional que justifique la deducción de la conclusión. La validez de este tipo de razonamiento depende de la estructura interna de las proposiciones simples que la componen.
La lógica cuantificacional estudia la composición íntima de las proposiciones, utiliza nuevos símbolos, leyes y métodos para establecer la validez de los razonamientos.
En el anterior ejemplo, la primera proposición es general, el sujeto se refiere a un conjunto de individuos. Esta proposición lleva antepuesto el termino: “todos”, llamado cuantificador.
La segunda proposición es singular, el sujeto se refiere a un solo individuo y la propiedad atribuida conviene a dicho individuo.
2.- PROPOSICIONES SINGULARES
La proposición singular se compone de: argumento y predicado.
Argumento.- Es el nombre propio o frase que designa objetos individuales:
· Dinka es estudiosa
· Juan escribe
· Este libro es bueno
· Cuatro es mayor que tres
· María es menor que Guillermo
Predicado.- Es la parte de la proposición que expresa propiedades o relaciones entre términos. El predicado está formado por el verbo con sin complementos:
· Sócrates es mortal
· Luís canta
· Carlos está alegre
· La Luna es un satélite
· Cinco es mayor que uno
Simbolización de las proposiciones singulares
Los argumentos se simbolizan mediante las letras minúsculas: “a”, “b”, “c”, “d”… Se llaman constantes de individuo.
Los predicados se simbolizan mediante las letras mayúsculas: “A”, “B”, “C”,… “F”, “G”, “H”,… Se llaman letras de predicado.
Para simbolizar proposiciones singulares, primero se escribe la letra de predicado y luego la constante individual:
ü Juan estudia Ej
j E
ü Luis canta Cl
l C
ü Marte es un planeta Pm
m P
Las proposiciones singulares pueden ser negadas y se simbolizan anteponiendo la negación a la fórmula:
ü Daniel no trabaja
Td
ü Kant no es matemático
Mk
Las proposiciones que tienen un predicado y dos o más argumentos se simbolizan escribiendo, primero la letra del predicado, seguida de las constantes individuales en el orden en que se presentan:
ü Ramiro ama a Carmen Arc
r A c
ü Jorge viaja con Robeto Vjr
j V r
ü El novio era mayor que Rosa
Mnr
ü Aristóteles nació en Estagira
Nae
Estas proposiciones pueden ser negadas y se simbolizan anteponiendo la negación a la fórmula:
ü La Tierra no ilumina al Sol
Its
ü Ramiro no ama a Carmen
Arc
Las proposiciones singulares pueden formar proposiciones compuestas, en este caso se simbolizan mediante conectivos lógicos:
ü Juan lee y Pedro escribe Lj ۸ Ep
j L p E
ü Einstein fue matemático o Kant fue filósofo Me ۷ Fk
e m K f
ü Si Jorge canta entonces Lizy baila
Cj Bl
ü Si Carlos es primero, entonces Gabriel es segundo y Daniel es tercero
Pc Sg ۷ Td
ü Patricia es alegre y Jovial
Ap ۸ Jp
ü Lorena canta y baila
Cl ۸ Bl
Para argumentos y predicados diferentes se usan letras diferentes, para los mismos argumentos las mismas letras y para los mismos predicados las mismas letras:
ü Juan estudia y Carlos trabaja
Ej ۸ Tc
ü María estudia y trabaja
Em ۸ Rm
ü Carmen y Hugo son músicos
Mc ۸ Mh
3.- FUNCIONES PROPOSICIONALES
Una función proposicional es una frase donde figura una variable que al ser sustituida por un valor dentro de un conjunto de valores se convierte en una proposición. Y que tiene la propiedad de convertirse en verdadero o falso, para cierto valor que le asignemos a dicha variable.
La función proposicional no es una proposición, por lo tanto, no se puede decir nada acerca de su valor de verdad.
Se denotan o representan por:
p(x) ó p(x), q(x) ó q(x), r(x) ó r(x), etc., donde “ x ” es la variable proposicional.
Considérense las siguientes proposiciones:
· Gustavo es médico.
· Álvaro es médico.
· Enrique es médico.
Estas proposiciones tienen algo en común, y es la propiedad de "ser médico". Esto puede formularse recurriendo a la expresión "x es médico" en donde x es una variable individual, la cual indica que el sujeto o término que tiene la propiedad de ser médico es indeterminada. La expresión "x es médico" no puede considerarse como una proposición ya que no es en cuanto tal ni verdadera ni falsa. Aquí x es una variable que toma valores dentro de un conjunto, llamado conjunto de referencia.Expresiones de esta forma, dadas en términos de una o varias variables, reciben el nombre de funciones proposicionales.
Cuando en una función proposicional se sustituyen las variables por constantes individuales o términos específicos, se convierte en proposición. Comúnmente se usarán las letras x, y, z, w para denotar las variables. Las funciones proposicionales pueden negarse y también combinarse con otras funciones proposicionales o proposiciones simples por medio de los conectivos.
Ejemplo:
"x es un número racional y z es un número irracional" se puede simbolizar como:
Si en una forma compuesta hay por lo menos una función proposicional como componente, entonces toda la forma compuesta es una función proposicional. Por ejemplo x>4, con x€R es una función proposicional.
4.- CUANTIFICADORES
La definición de “Cuantificadores” comprende cálculos matemáticos, que vinculan una serie de variables. De este modo, se habla de un “Cuantificador” para determinar un valor como verdadero y falso, válido o inválido.
También se dice que los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuántos elementos deun conjunto dado cumplen con cierta propiedad.
A través de la cuantificación también se puede crear proposiciones desde una función proposicional, este procedimiento para convertir un predicado en una proposición recibe el nombre de “generalización”, puesto que es un modo de hablar “en general”, de las muchas formas que puede revestir el procedimiento de generalización, dos son especialmente útiles:
Cuantificador Universal. El cuantificador universal para todo asociado a una expresión de cálculo de predicados F se representa por la expresión (∀x) F y es verdadera cuando todas las instancias de la fórmula son verdaderas al sustituir la variable x en la fórmula por cada uno de los valores posibles del dominio. Si la intersección de todas las proposiciones que origina una función proposicional es cierta se escribe: Para todo x, p(x). Se llama (a "para todo") cuantificador universal.
Así por ejemplo si tenemos que la fórmula es T(x) donde T representa “es alumno del ITT” y x representa un alumno de Tijuana, la fórmula (∀ x) T(x) es falsa pues sabemos que hay alumnos en Tijuana que no son del ITT.
Cuantificador Existencial. El cuantificador existencial al menos uno o existe uno asociado a una expresión de cálculo de predicados F se representa por la expresión (∃x) F y es verdadera cuando por lo menos una instancia de la fórmula es verdadera al sustituir por la variable x uno de los valores posibles del dominio.
Si la unión de todas las proposiciones que origina una función proposicional p(x) es cierta, se escribe Existe x tal que p(x). Se llama (a "existe") cuantificador existencial.
Así por ejemplo en el mismo caso del anterior la expresión (∃ x) T(x) es verdadera pues sabemos que sí es verdad que al menos un estudiante es alumno del ITT.
Hay expresiones dentro del español que son muy utilizadas como por ejemplo, Todos los alumnos son estudiosos, Todos los hombres son mortales o Todos los alumnos de Computación estudian lógica. En este caso estamos tomando una parte del dominio para establecer un característica universal, esto se puede hacer mediante la combinación de dos predicados de una variable conectados mediante una condicional y tomando el cuantificador universal.
Así por ejemplo: Todos los alumnos son estudiosos se puede representar mediante
(∀x) (A(x) → E(x)) donde el predicado A significa alumno, E estudioso y x es un elemento de un dominio general que podría ser el de las personas o cualquier subconjunto deseado. Por ejemplo podrían ser todas las personas que viven en Tijuana.
Aquí podemos ver claramente que el dominio juega un papel preponderante, ya que en un conjunto todos los alumnos podrían ser estudiosos y si cambiamos el conjunto puede ser que ya no sea verdad.
Todos los hombres son mortales se puede representar por (∀ x) (H(x) → M(x)) donde H es hombre y M el predicado mortal.
Todos los pericos son verdes es: (∀ x) (P(x) → V(x)) con P, perico y V verde.
A una expresión como las anteriores se le llama Universal Afirmativa y se representa con la letra A.
Los griegos utilizaban enunciados como los anteriores en los Silogismos, que son formas de razonamiento que contienen dos premisas tipo A, E, I, O y una conclusión también de uno de los cuatro tipos, las premisas están conectadas con un predicado común y la conclusión debe estar formado por las no comunes que se le llaman técnicamente premisa menor y premisa mayor.
Una expresión tipo E es llamada Universal Negativa y se representa por
(∀ x) (P(x) → ¬Q(x)) y en español se lee ningún P cumple Q o sea que los que cumplen el predicado P(x) no cumples el predicado Q(x).
Ningún alumno llegó tarde se puede representar por (∀ x) (A(x) → ¬T(x)) donde A es alumno y T es llegó tarde.
Las dos expresiones restantes corresponden a casos particulares y para formarlas utilizamos el cuantificador existencial, y en lugar del operador condicional se usa la conjunción, así:
I es (∃ x) (P(x) ∧ Q(x)) llamado Particular Afirmativa
O es (∃ x) (P(x) ∧ ¬ Q(x)) que es la Particular Negativa.
En el primer caso se indica un elemento que cumple las dos condiciones dadas por los predicados y en el segundo aseguramos que hay un elemento que cumple la primera condición pero no la segunda.
Una manera muy simple de combinar estas expresiones mediante una propiedad es utilizando la negación, pues dos de ellas son las negaciones de las otras dos, de ahí sus nombres de afirmativas y negativas.
Ø Alcance del cuantificador
x es mutable
“x” es variable libre, porque no aparece en ningún cuantificador.
(x) x es mutable
“x” es variable ligada, porque aparece en el cuantificador “(x)”.
En la fórmula:
(x) (Ax ۸ Ex)
El cuantificador “(x)” abarca a toda la formula es decir, a la dos “x” restantes. Esta fórmula cuantificacional se llama “cerrada” y todas las variables “x” se llaman“ligadas” y están encerradas entre paréntesis.
En la fórmula:
(x) Fx ۸ Gx
El cuantificador “(x)” abarca solamente a una parte de la fórmula, a “Fx”, esta “x” es ligada y siguiente “x” es libre. Esta fórmula cuantificacional se llama “abierta”, porque hay por lo menos una variable que no se halla dentro del alcance del cuantificador “x”. Las variables que no se hallan dentro del alcance del cuantificador se llaman “libres”.
Si el cuantificador no esta delante de una formula con paréntesis, el alcance del mismo llega hasta la primera variable de la misma letra; pero si el cuantificador está delante de una fórmula encerrada entre paréntesis, su alcance llega a todas las variables de la misma letra. Las constantes de individuo se consideran ligadas.
Las fórmulas cerradas constituyen proposiciones y las abiertas, funciones proposicionales.
